מאמר זה הוא ראשון ממספר מאמרים שעוסקים בסדרות מתמטיות.
סדרה במתמטיקה היא קבוצה של מספרים, שלכל איבר בקבוצה יש מיקום מסוים
בקבוצה, ולאיברים בקבוצה, יש כלל מסוים, הקושר בין כל אחד מן הערכים בקבוצה, לבין
המיקום המדויק שלו.
סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, אשר בין האיברים בה מתקיים קשר של חיבור
או חיסור; כלומר אם ידוע לי מספר מסוים בקבוצה (ומיקומו), כדי להגיע לאיבר הבא,
אני צריך להוסיף ערך מסוים (שיכול להיות חיובי - וכך הסדרה עולה, או שלילי - וכך
הסדרה יורדת).
שני הפריטים הבאים, הם למעשה אלה שמגדירים את הסדרה:
האיבר הראשון בסדרה: a1.
ההפרש בין האיברים בסדרה: d.
אחרי שיש לנו את הפריטים האלה, אפשר למעשה להגיע לכל ערך בסדרה על ידי
נוסחת האיבר הכללי:
כאשר n הוא המיקום של האיבר שאותו אנחנו רוצים
למצוא בקבוצה.
נתבונן במספר דוגמאות:
בסדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה הוא 3 וההפרש הוא d=2, האיבר השביעי שלה יהיה:
בסדרה
חשבונית שהאיבר הראשון שלה הוא -6 וההפרש שלה
הוא d=8, האיבר ה-35
שלה יהיה:
ג
דוגמא קצת יותר קשה:
על סדרה חשבונית ידוע כי האיבר ה-4 שלה הוא 31 והאיבר ה-9 שלה הוא 71. מהם
האיבר הראשון (a1) וההפרש (d) של הסדרה? מהוא האיבר ה-12
בסדרה?
פתרון:
נציב את מה שאנחנו יודעים בנוסחאות הרלבנטיות:
אם כן -
לפנינו שתי משוואות ב-2 נעלמים:
למעשה כאשר
בודדנו את האיבר הראשון a1, ב-2
המשוואות, מצאנו דרך לחלץ את d - ההפרש:
ברגע שאנחנו
יודעים את ערכו של ההפרש, את האיבר הראשון a1 נוכל למצוא מתוך כ"א מן המשוואות של
האיברים:
אם כן מצאנו שערכו של האיבר הראשון הוא a1=8 וערכו של ההפרש הוא d=7.
מכאן נוכל למצוא בקלות גם את האיבר ה-12:
המשיכו לקרוא על סכום סדרה חשבונית
תרגילים לתרגול (ללא פתרון):
1. האיבר הראשון של סדרה חשבונית הוא a1=3.5 וההפרש הוא d=2.5. מהו האיבר השלישי? מהו האיבר
העשירי?
2. האיבר הראשון של סדרה חשבונית הוא a1=4 והפרש הסדרה הוא d=-9. מהו האיבר ה-20? מהו האיבר
ה-250?
3. האיבר ה-15 של סדרה מסוימת הוא 58 והאיבר ה-23 הוא 82. מהו סכום האיברים
ה-60 וה-61?